2019年河南自考数论初步试卷及答案
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2019年河南自考数论初步试卷及答案
一、单选题 （共6题，共18分）
1：如果 b|a ， a|b ，则 ( )
A.a=b
B.a =-b
C.a<b
D.a=±b
正确答案：D
2：如果3|n，5n，则15（）n
A.整除
B.不整除
C.等于
D.不一定
正确答案：A
3：在整数中正素数的个数（ ）
A.有 1 个
B.有限多
C.无限多
D.不一定
正确答案：C
4：如果ab(modm),c是任意整数,则（）
A.ac=bc(modm)
B.a=b
C.ac Tbc(mod m)
D.a>b
正确答案：A
5：如果 ( ),则不定方程 ax＋by=c 有解
A.(a, b) |c
B.c| (a,b)
C.a|c
D.(a,b)|a
正确答案：A
6：整数5874192能被()整除
A.3
B.3 与 9
C.9
D.3 或 9
正确答案：B
二、填空题 （共4题，共12分）
7：素数写成两个平方数和的方法是（ ）
正确答案：唯一的
8：同余式
有解的充分必要条件是 ()
正确答案： (a,m)|b
9：如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者().
正确答案： 与p互素
10：a,b 的公倍数是它们最小公倍数的 ().
正确答案：倍数
三、计算题 （共4题，共12分）
11：求[136,221,391]=?
正确答案：
12：求解不定方程 9x＋21y=144
正确答案：
13：解同余式12x＋15≡0(mod 45)
正确答案：
因为(12,45)=3|5, 所以同余式有解 , 而且解的个数为3
又同余式等价于 4x＋5≡0(mod 15), 即 4x＋5 =15 y
我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是 (10,3)
即定理 题目4：1 中的 x0=10
因此同余式的 3 个解为
x≡10(mod 45)
x≡ 10＋15(mod 45) ≡25(mod 45)
x≡10+30(mod 45) ≡40(mod 45)
题目14：
求
其中563是素数
正确答案：
题目15：
证明对于任意整数n，数n/3+n²/2+n³/6是整数
正确答案：
n/3+n²/2+n³/6是整数
题目16：
证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除
正确答案：
题目17：
证明形如 4n-1的整数不能写成两个平方数的和
正确答案：
证明 设 n是正数 , 并且 n≡-1(mod 4)
如果n=x²+ y ²
则因为对于模 4, x, y 只与 0,1,2,-1 等同余
所以x ², y² 只能与 0,1 同余
所以x²+y²≡0,1,2(mod 4)
而这与 n≡-1(mod 4) 的假设不符
即定理的结论成立
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